lunes, 30 de enero de 2017

La probabilidad de lo aparentemente improbable

Qué pensarías si en la última colada metiste 6 pares de calcetines, y los primeros 6 calcetines que sacas cuando termina la lavadora resultan ser todos diferentes?.




Lo cierto es que este fin de semana me sucedió (la anterior foto es real), creo que por primera vez en mi vida, o al menos que yo fuera consciente. Dejando de lado la decepción que supuso no poder ir emparejando los calcetines rápidamente en el tendedero, puede calcularse que la probabilidad de sacar 6 calcetines distintos no es muy alta:

P6 diferentes/colada = 12/12 · 10/11 · 8/10 · 6/9 · 4/8 · 2/7 = 6,93%

Pero tampoco lo bastante baja como para que sea algo muy raro. De hecho si hacemos una colada semanal con 6 pares de calcetines por lavado (vale, un día de la semana no sales de casa o repites calcetines, me da lo mismo), lo que supone 52 coladas al año, la probabilidad de que no salgan nunca 6 calcetines diferentes de la lavadora es bajísima:

Pnunca 6 diferentes/año = (1 - 0,0693)52 = 2,39%

Con lo cual solo puedo concluir que con una alta probabilidad habré sacado otras veces calcetines todos ellos diferentes en primer lugar, y simplemente no reparé en ello.

Otro ejemplo, ante la pregunta típica de profesor de matemáticas: "creéis que al menos dos de la clase cumplís años el mismo día?"; jóvenes e inconscientes, lo habitual es contestar que ni hablar, que eso sería mucha casualidad. Lo cierto es que en un aula de 40 alumnos, la probabilidad de que no haya al menos dos que cumplan años el mismo día es muy baja:

Pcumpleaños diferentes = 365/365 · 364/365 · ... · (365-40+1)/365 = 10,88%

Es decir hay aproximadamente solo una posibilidad entre diez de que ningún par de alumnos comparta cumpleaños. En concreto en mi clase de 1º de BUP rápidamente salieron coincidencias y todos quedamos boquiabiertos.

Al día siguiente de escribir esta entrada, volviendo del trabajo encontré mis tres iniciales en el coche de delante (Antonio, me fallaste con esa foto!).



Si en España usamos para las matrículas las siguientes veinte letras: B, C, D, F, G, H, J, K, L, M, N, P, R, S, T, V, W, X, Y y Z, y estimo que vamos por la terna JRD (la de mi Giulietta), esto quiere decir que la probabilidad de encontrar unas iniciales (o cualquier combinación ya usada) en las nuevas matrículas es de:

P3 iniciales = 1 / (7 · 20 · 20) = 0,0357%

Razonablemente remota. Pero y si nos fijamos, tirando por lo bajo en alguien un poco curioso, en una media de 10 de estas matrículas al cabo del día?. La probabilidad de no toparnos en todo un año con el premio de ver nuestro nombre plasmado en algún vehículo será de:

Pnunca 3 iniciales/año = (1 - 0,000357)10·365 = 27,15%

Dicho de otro modo, tenemos casi 3/4 de posibilidades de deleitarnos con un homenaje en la carretera cada año.

Y como esos tres ejemplos hay decenas. Estamos rodeados de sucesos aparentemente improbables pero que no lo son en absoluto, así que racionalmente no habría que maravillarse mucho por ellos.

Que la lotería nos toque no está en ese grupo; la lotería siempre le toca a alguien, pero que nos toque a nosotros cuenta con una probabilidad tan baja, que gritar de alegría si nos sonríe la fortuna está tan justificado como poco sensato resulta esperanzarse con ella.

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